Oberflächen

Oberflächen bezeichnet in der Geometrie und in den Naturwissenschaften die äußere Grenze eines Körpers oder die allgemein zweidimensionale Struktur, die in einem dreidimensionalen Raum liegt. In der Mathematik ist eine Oberfläche eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, deren Punkte sich lokal wie die Ebene verhalten. In vielen Anwendungsbereichen wird die Rand- oder Grenzfläche zwischen zwei Phasen oder Materialien genutzt.

Mathematisch lassen sich Oberflächen durch Parameterdarstellungen beschreiben: Eine parametrisierte Oberfläche wird durch Koordinaten x(u,v), y(u,v), z(u,v) definiert, wobei (u,v) in einer offenen Region der Ebene liegen. Alternativ erfüllt eine Funktion F(x,y,z)=0 die Punkte der Oberfläche. Wichtige Geometriebegriffe sind die Tangentialebene und der Normalenvektor, sowie orientierte Flächen.

Beispiele finden sich in der Ebene, Kugel, dem Zylinder und dem Torus. Eine Oberfläche gilt als glatt, wenn sie differenzierbar ist. Manche Oberflächen sind nicht orientierbar, wie das Möbiusband. In der Computergrafik und im Geometrie-Computing spielen polygonale Oberflächen (Netze aus Dreiecken oder Vierecken) eine zentrale Rolle.

Krümmung und Flächeninhalt zählen zu den zentralen Eigenschaften: Die Gaußsche Krümmung beschreibt, wie sich die Fläche in zwei Richtungen krümmt; die mittlere Krümmung kombiniert beide Richtungen. Typische Größen sind Fläche, Normalenvektor und topologische Eigenschaften wie die Euler-Charakteristik. In vielen Anwendungen werden Oberflächen diskretisiert oder netzartig dargestellt, um Berechnungen zu ermöglichen.

Anwendungsgebiete reichen von Computer Graphics und CAD über Geowissenschaften bis hin zu Materialwissenschaft und Physik, wo Oberflächeneigenschaften das Verhalten von Interaktionen, Reibung oder Oberflächenenergie beeinflussen.