Flächen

Flächen bezeichnet in der Geometrie die zweidimensionale Größe eines Gebietes. Im Deutschen wird oft zwischen der Fläche von Ebenenfiguren, dem sogenannten Flächeninhalt, und dem Oberflächeninhalt der Grenzfläche eines dreidimensionalen Körpers unterschieden. Der Begriff umfasst damit sowohl die Größe zweidimensionaler Regionen in der Ebene als auch die Fläche der äußeren Oberfläche von Objekten im Raum.

Im Raum der Ebene lassen sich Flächenformen auf verschiedene Weise berechnen. Für einfache Figuren gelten typische Formeln: Das Rechteck hat A = Länge × Breite; das Dreieck A = 1/2 × Basis × Höhe; der Kreis A = πr². Allgemeine Vielecke lassen sich durch Zerlegen oder mit der Shoelace-Formel berechnen. Das Flächenmaß ist additiv über disjunkte Teile und wird in Quadratmetern (m²) gemessen; größere Einheiten wie Quadratkilometer (km²) oder Hektar (ha) kommen im Geografie- und Vermessungswesen häufig vor.

Für zerlegbare oder gekrümmte Flächen im Raum wird die Fläche durch Flächenintegrale definiert. Dabei beschreibt man eine Fläche durch eine Parametrisierung r(u, v) und berechnet die Fläche als das Integral von |∂u r × ∂v r| dudv über den Parameterbereich. So werden auch Unebenheiten, Kurven und Krümmungen berücksichtigt.

Anwendungen der Flächenrechnung finden sich in Vermessung, Architektur, Stadtplanung, Materialberechnung, Computergraphik und Physik, wo Querschnittsflächen und Oberflächeninhalte wichtige Größen darstellen. Flächen gehören zum Grundmaß des zweidimensionalen Raums und stehen neben Länge und Volumen als fundamentales Maß in der Geometrie.