Flächenintegrale

Flächenintegrale befassen sich mit dem Integrieren von Funktionen oder Vektorfeldern über eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Es existieren zwei grundlegende Arten: das Flächenintegral einer skalaren Feldfunktion f: R^3 → R und das Flächenintegral eines Vektorfeldes F: R^3 → R^3, oft als Fluxintegral bezeichnet.

Für ein Flächenintegral eines skalar Feldes wird eine Fläche S durch eine Parametrisierung r(u,v) mit (u,v) in einer Bereichsmenge D ⊂ R^2 beschrieben. Das Flächenintegral ist ∫∫_S f dS = ∫∫_D f(r(u,v)) ||∂u r × ∂v r|| du dv. Das Maß dS entspricht der Flächelementdichte, die durch das Betragsquerschnitt des Tangentialflächenvektors gegeben ist.

Für das Flächenintegral eines Vektorfeldes F über S definiert man ein orientiertes Flächenelement als n dS, wobei n die orientierte Normalenrichtung ist. In Parametrisierung wird das Fluxintegral zu ∫∫_S F · n dS = ∫∫_D F(r(u,v)) · (∂u r × ∂v r) du dv. Die Orientierung der Fläche beeinflusst das Vorzeichen des Ergebnisses.

Wichtige Zusammenhänge sind Gausssche Divergenzsatz und Stokes-Theorem: Der Divergenzsatz verbindet den Fluss durch eine geschlossene Fläche S mit dem Volumenintegral von div F, während Stokes das Flächenintegral von curl F über eine Fläche S mit einem Linienintegral von F entlang der Randkurve ∂S verknüpft.

Anwendungen umfassen die Berechnung von Oberflächenflächen, Massenverteilungen, Flussgrößen von Feldern sowie verschiedene geometrische und physikalische Größen. Beispiele reichen von der Bestimmung der Oberfläche einer Kugel bis zur Bestimmung des durch eine Fläche strömenden Feldes.