Flächenintegral

Flächenintegral bezeichnet das Integrationskonzept über eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Es gibt zwei Hauptformen: das Flächenintegral erster Art für skalare Funktionen f: S → R, und das Flächenintegral zweiter Art für Vektorfelder F: R^3 → R^3, bei dem der Fluss durch die Fläche gemessen wird.

Gegeben eine parametrisierte Fläche S durch eine Abbildung r(u,v) mit Domain D, sodass S = r(D) ist, gilt das Flächenmaß dS = ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv. Für ein skalares Feld f gilt dann das Flächenintegral über S als ∫∫_S f dS = ∫∫_D f(r(u,v)) ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv.

Für ein Vektorfeld F wird der Fluss durch die Fläche über das orientierte Flächenelement dS-vektor integriert: ∫∫_S F · n dS, wobei n die äußere Orientierung ist. In einer Parametrisierung lässt sich dies schreiben als ∫∫_S F · dS = ∫∫_D F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv.

Beispiel: Die Kugel S_R mit r(θ,φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ), 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ < 2π, hat dS = R^2 sinφ dφ dθ. Das Flächenintegral von f ≡ 1 liefert die Fläche 4πR^2. Der Fluss eines Feldes durch die Kugel ergibt ∫∫_S F · n dS = ∫∫ F(r(θ,φ)) · (∂r/∂θ × ∂r/∂φ) dθ dφ.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik (z. B. Elektromagnetismus, Strömungslehre) sowie als Bestandteil wichtiger Sätze wie dem Divergenzsatz und dem Stokes-Theorem.