Vektorfeld

Ein Vektorfeld F ordnet jedem Punkt x eines Gebietes U ⊂ R^n einen Vektor F(x) ∈ R^n zu. In der Praxis ist es oft ein Feld in R^2 oder R^3. Beispiele sind Geschwindigkeitsfelder in Fluiden, elektrische oder magnetische Felder oder Gravitationsfelder.

Die übliche Schreibweise ist F(x) = (F1(x), …, Fn(x)). Wichtige Operatoren sind die Divergenz ∇·F, die angibt, wie viel Fluss aus dem Gebiet austritt oder hineinführt, und die Rotation ∇×F, die die Drehung des Feldes misst. Der Gradient eines Skalarfelds φ ist ∇φ; F = ∇φ ist ein konservatives (irrotationsfreies) Feld. In einem einfach zusammenhängenden Gebiet ist dann der Linienintegral ∫_C F·dr entlang jeden Pfads von A nach B abhängig nur von den Endpunkten.

Lineare Integrale beschreiben Arbeit oder Fluss entlang eines Pfades. Für C gilt ∫_C F·dr. Relevante Sätze verbinden Flächen- und Randintegrale, etwa der Stokes-Satz ∮_∂S F·dr = ∬_S (∇×F)·n dS und der Gaußsche Satz ∬_S F·n dS = ∬_V ∇·F dV.

Anwendungen finden sich in Physik, Ingenieurwesen und Mathematik, etwa in der Strömungsmechanik, dem Elektromagnetismus, der Potentialtheorie und der Geometrie.