Potentialtheorie

Potentialtheorie ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit Potentialen beschäftigt, die aus Ladungen, Massen oder energieförmigen Quellen entstehen. In der klassischen Form ergibt sich das zentrale mathematische Objekt aus dem Laplace-Operator. Eine Funktion u ist harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung Δu = 0 erfüllt. Harmonsche Funktionen treten als Lösungen von Dirichlet- und Neumann-Problem auf und haben Eigenschaften wie das Mittelwertprinzip und starkes Maximumprinzip. Subharmonische und superharmonische Funktionen erweitern dieses Konzept.

Die Theorie verwendet Fundamentallösungen der Laplace- oder der Riesz-Operatoren und Green-Funktionen. Der Newtonsche Potential der Masseverteilung μ in R^n wird durch u(x) = ∫ G(x,y) dμ(y) beschrieben; in n > 2 ist G(x,y) proportional zu |x-y|^{2-n}, in n=2 ist G logarithmisch. Das Poisson-Integral stellt harmonische Funktionen in einem Gebiet durch Randwerte dar. Das Dirichlet-Problem lässt sich häufig durch Green-Funktionen lösen.

Wesentliche Ergebnisse umfassen das Maximumprinzip, die Harnack-Ungleichung, Regularitätssätze und Methoden wie das Perron-Verfahren. Die Theorie behandelt auch Potenzialfelder, Energie und Kapazitäten: Die Kapazität einer Menge charakterisiert deren Einfluss auf das Verhalten von Potentialen; Gleichgewichtsmessungen minimieren eine Energiefunktion.

Die Potentialtheorie verknüpft sich eng mit der komplexen Analysis (in der Ebene führt Harmonie mit konjugierten Funktionen zu holomorphen Funktionen) und mit probabilistischen Ansätzen über Brownian Motion. Historisch entstand sie aus Gravitation und Elektrostik; heute spielt sie eine zentrale Rolle in Analysis, Geometrie und Anwendungen.