Vektorfelder

Ein Vektorfeld F ordnet jedem Punkt x eines Gebiets D ⊂ R^n einen Vektor F(x) ∈ R^n zu. Das Gebiet D ist der Definitionsbereich, der Vektorraum R^n der Zielraum. In der Praxis arbeitet man häufig mit D ⊂ R^2 oder D ⊂ R^3.

Mathematisch lässt sich F als Abbildung F: D → R^n schreiben, oft F(x) = (F1(x), F2(x), F3(x)) in Koordinaten. Für jeden Punkt x gibt der Feldwert die Richtung und Stärke des Vektors an. Beispiele sind Geschwindigkeitsfelder in der Strömungsmechanik, Gravitationsfelder oder elektrische Felder.

Viele Vektorfelder dienen als Modell für physikalische Größen. Sie unterscheiden sich von Skalarfeldern, die jedem Punkt eine Zahl zuordnen. Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien oder Integralkurven visualisieren: Kurven, deren Tangenten an jedem Punkt mit dem Feldvektor F(x) übereinstimmen.

Wichtige Operationen sind Divergenz und Rotation (Curl). Die Divergenz div F misst, ob der Feldwert an einem Punkt Quelle oder Senke hat, die Rotation ∇×F misst die Rotationskomponente des Feldes. In drei Dimensionen gelten entsprechende Formeln; Divergenz und Curl spielen eine zentrale Rolle in der Feldtheorie und beim Umgang mit Flüssen durch Oberflächen.

Bei vielen Feldern existiert ein Potenzial Φ mit F = -∇Φ, insbesondere wenn ∇×F = 0 gilt. In diesem Fall handelt es sich um ein konservatives Feld.

Anwendungen finden sich in der Physik, Ingenieurwissenschaften, Meteorologie und Mathematik, etwa bei der Beschreibung von Strömungen, elektromagnetischen Feldern oder in der Theorie dynamischer Systeme.