parametrisierte

Parametrisierte (von parametrisieren) bezeichnet in Mathematik, Informatik und Technik Objekte oder Darstellungen, die durch Parameter beschrieben werden. Eine parametrisierte Darstellung drückt die Koordinaten eines Punkts als Funktionen von einem oder mehreren Parametern aus. Typischerweise wird ein Parameterraum definiert, aus dem die Parameterwerte in den Koordinatenraum abgebildet werden.

Beispiele aus der Geometrie: Eine parametrische Kurve in der Ebene R^2 hat die Form x(t) = f1(t), y(t) = f2(t) mit t aus einem Intervall I. Ein Kreis kann parametrisiert werden durch x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t ∈ [0, 2π]. Eine parametrische Fläche in R^3 hat x(u,v) = f1(u,v), y(u,v) = f2(u,v), z(u,v) = f3(u,v) mit (u,v) aus einem Gebiet D. Ein Beispiel ist die Kugeloberfläche: x = R sinφ cosθ, y = R sinφ sinθ, z = R cosφ mit φ ∈ [0,π], θ ∈ [0,2π].

Anwendungen treten in Wissenschaft und Ingenieurwesen auf: Parametrische Modelle erlauben einfache Manipulation von Formen, Animation und Designänderungen. In der Computergrafik und im CAD spielen Bézier- und B-spline-Kurven sowie NURBS eine zentrale Rolle, da sie Parameterkontrollen zur Formgebung bieten.

Wichtige Eigenschaften: Die Parameterisierung ist nicht eindeutig; gleichem Objekt können verschiedene Parameterationen entsprechen. Reparameterisierung, Abhängigkeiten der Parameter und Singularitäten können Einfluss auf Geometrie und Berechnungen haben, etwa bei Flächeninhalts- oder Kurvenlängenberechnungen (Jacobian).