Kugeloberfläche

Die Kugeloberfläche, im mathematischen Sprachgebrauch auch Sphärenoberfläche S^2_R genannt, ist die Oberfläche der Kugel im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Zentrum c und Radius R > 0. Sie besteht aus allen Punkten x, die den Abstand R vom Mittelpunkt haben, also die Menge S_R = { x in R^3 : ||x - c|| = R }. Die Kugeloberfläche ist eine kompakte, zusammenhängende, orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit und bildet die Grenze des Balls B_R = { x : ||x - c|| ≤ R }.

Parametrisierung und Geometrie: In Kugelkoordinaten lässt sich S_R durch x = c_x + R sinφ cosθ, y = c_y + R sinφ sinθ, z = c_z + R cosφ mit φ ∈ [0, π] und θ ∈ [0, 2π) beschreiben. Die Fläche hat die Größe A = 4πR^2. Der äußere Einheitsnormalenvektor ist N = (x - c)/R. Die Kugeloberfläche ist eine glatte, orientierbare Fläche, die als Homöomorphismus unter O(3) eine hohe Symmetrie besitzt.

Krümmung und Geodäsie: Die Gaußsche Krümmung der Kugeloberfläche ist konstant und gleich K = 1/R^2; die mittlere Krümmung beträgt H = 1/R. Die Geodäten der Kugeloberfläche sind Großkreise; jeder Großkreis ist eine kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche.

Einschränkungen und Anwendungen: Die Kugeloberfläche ist die Randmenge des Balls und dient als einfaches Modell einer konvexen Fläche mit konstanter positiver Krümmung in Geometrie, Geodäsie, Computergraphik und theoretischer Physik.