Homöomorphismus

Ein Homöomorphismus ist eine bijektive stetige Abbildung f von einem topologischen Raum X auf einen topologischen Raum Y, deren Umkehrabbildung f^{-1} ebenfalls stetig ist. Zwei Räume X und Y heißen genau dann homöomorph zueinander, wenn es einen solchen Homöomorphismus gibt. Damit besitzen X und Y dieselbe Topologie, auch wenn ihre geometrische Form unterschiedlich sein mag.

Wesentliche Eigenschaften eines Homöomorphismus sind seine Invarianz der topologischen Struktur: Offene Mengen in X korrespondieren unter f zu offenen Mengen in Y, ebenso gelten abgeschlossene Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Gesamtzusammenhang zueinander. Folglich erhalten sich durch einen Homöomorphismus insbesondere Eigenschaften wie Zusammenhang, Zusammenhangskomponente, Kompaktheit, Hausdorff-Eigenschaft und viele weitere topologische Eigenschaften. Ist X und Y mit einer Metrik ausgestattet, so bedeutet der Homöomorphismus zusätzlich, dass X und Y als metrische Räume topologisch äquivalent sind; die Inverse muss stetig bleiben, wodurch f eine bicontinuierliche Abbildung ist.

Beispiele: Die Identitätsabbildung ist immer ein Homöomorphismus. Rotationen, Translationen oder allgemein stetige Verzerrungen eines Raums in sich oder zwischen Räumen, die keine Zerrissenheit oder Zusammenziehung verursachen, liefern weitere Homöomorphismen. Ein Kreis S^1 ist beispielsweise homöomorph zu jedem Ellipse E mit derselben Kreislängenausprägung, da eine Abbildung f(t) = (a cos t, b sin t) eine bijektive, stetige Abbildung mit stetiger Umkehrung ergibt. Allgemein sind R^n und R^n unter der Standardtopologie homöomorph, während R^n nicht homöomorph zu R^m ist, wenn n ≠ m.

Ein Homöomorphismus ist das Isomorphismus-Konzept der Kategorie der topologischen Räume, er definiert eine topologische Äquivalenz zwischen Räumen.