Homöomorphismen

Ein Homöomorphismus, Plural Homöomorphismen, ist eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen X und Y, die bijektiv ist, stetig bleibt und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Zwei Räume X und Y heißen homöomorph zueinander, wenn es einen solchen Homöomorphismus gibt. Damit bildet Homöomorphie eine topologische Äquivalenz: Sie erhält die Topologie der Räume und macht sie funktional identisch aus Sicht der Topologie.

Eigenschaften und Bedeutung: Da ein Homöomorphismus eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrung ist, erhält er die topologische Struktur vollständig. Offene Mengen, geschlossene Mengen, Zusammenhang, Zusammenhangskomponenten und Kompaktheit werden entsprechend übertragen. Homöomorphe Räume teilen auch weitere invarianten Eigenschaften wie die Erhaltung von Konvergenzstrukturen, lokalen Eigenschaften und die Zugehörigkeit zu bestimmten Mannigfaltigkeitsklassen. Die Menge aller Homöomorphismen zwischen X und Y bildet eine Gruppe unter Verkettung, mit der Identität als Einselement und dem Umkehroperator als Inverses.

Beispiele: Eine Verschiebung f(x) = x + a auf dem reellen Raum R ist ein Homöomorphismus. Rotationen und Spiegelungen des euklidischen Raums R^n sind ebenfalls Homöomorphismen. Auf der Kreislinie S^1 entspricht eine Drehung durch einen festen Winkel einem Homöomorphismus von S^1 auf sich. Allgemein sind wohldefinierte bijektive stete Abbildungen mit stetiger Umkehrung die klassischen Beispiele.

Bedeutung: Homöomorphismen dienen zur Klassifikation von Räumen nach ihrer topologischen Struktur. Zwei Räume, die durch einen Homöomorphismus verbunden sind, sind topologisch identisch; alle Eigenschaften, die durch Homöomorphismen erhalten bleiben, gelten als topologische Eigenschaften.