Äquivalenz

Äquivalenz bezeichnet in Mathematik, Logik und den Wissenschaften ein Verhältnis zwischen zwei Objekten, das deren Gleichwertigkeit unter einer bestimmten Betrachtung ausdrückt. In der formalen Mathematik spricht man von einer Äquivalenzrelation, also einer binären Relation R auf einer Menge M, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Solche Relationen teilen M in disjunkte Äquivalenzklassen: Jedes Element gehört zu genau einer Klasse [a] = {x in M | x ~ a}.

Typische Beispiele sind vielfältig: Die Kongruenzrelation modulo n, bei der a ≡ b mod n bedeutet, dass der Unterschied a − b durch n teilbar ist. In der Logik entspricht die logische Äquivalenz zweier Aussagen p und q der Bedingung, dass p und q dieselbe Wahrheitstafel haben, also p ↔ q ist immer wahr. Im Alltag lässt sich Äquivalenz oft durch Gleichwertigkeit unter bestimmten Regeln definieren.

Anwendungen finden sich in der Algebra bei der Bildung von Quotientenstrukturen (Quotientenringe, Quotientenräume, Quotientenhalbgruppen), in der Geometrie bei Äquivalenzklassen von Objekten, in der Informatik bei Normalformen und Abstraktion sowie in den Wissenschaften bei Bezugssystemen wie Säure- oder Basenäquivalenz in der Chemie. Gleichheit ist eine spezielle Form der Äquivalenz, nämlich eine Identität: Wenn a = b gilt, dann gilt auch a ~ b, doch Umkehrungen sind nicht zwingend gegeben.