Kongruenzrelation

Eine Kongruenzrelation ist eine Äquivalenzrelation, die mit der zugrunde liegenden algebraischen Struktur verträglich ist. Das bedeutet: Sei A eine Menge mit einer oder mehreren Operationen (z. B. einer Gruppe, eines Rings oder einer Verknüpfung in einer latticeartigen Struktur). Eine Relation ∼ auf A ist eine Kongruenz, wenn sie eine Äquivalenzrelation bleibt und für jede Operation φ gilt: Sind ai ∼ bi für alle Argumente, dann gilt auch φ(a1, ..., an) ∼ φ(b1, ..., bn).

Ein klassisches Beispiel ist die Modularkongruenz auf den ganzen Zahlen: a ≡ b (mod n) genau dann, wenn n die Differenz a − b teilt. Die Menge der Äquivalenzklassen Z/nZ bildet eine Quotientenstruktur, auf der die Operationen Addition und Multiplikation absteigen und so eine Ringstruktur entsteht.

Auch in anderen algebraischen Strukturen treten Kongruenzen auf: In einer Gruppe G mit einer Normaluntergruppe N definiert man a ∼ b genau dann, wenn a⁻¹b ∈ N; die Menge der Äquivalenzklassen bildet die Quotientengruppe G/N. In einem Ring R mit einem Ideal I gilt a ∼ b genau dann, wenn a − b ∈ I; hier erhält man den Quotientenring R/I. In lattizischen Strukturen bezeichnet eine Kongruenz eine Äquivalenzrelation, die mit den Operationen join und meet verträglich ist, und die entsprechende Quotientenlattice bildet.

Kongruenzrelationen stehen eng im Zusammenhang mit Homomorphismen: Der Kern eines Homomorphismus f ist eine Kongruenz, und A/Ker f ist isomorph zum Bild von f (Erster-Isomorphismus-Satz). Kongruenzen ermöglichen so die systematische Bildung von Quotientenstrukturen.