Rotationen

Rotationen behandelt die Gruppe der Bewegungen, die Abstände zwischen Punkten unverändert lassen. Bei einer reinen Rotation werden Orientierungen beibehalten (orientationsbewahrend), während Translationen ausgeschlossen oder getrennt betrachtet werden. In der Ebene ist eine Rotation eine Abbildung, die jeden Punkt um einen festen Mittelpunkt durch einen bestimmten Winkel dreht. In drei Dimensionen lässt sich eine Rotation als Drehung um eine Achse beschreiben, oder als allgemeinere orthogonale Transformation mit der Determinante +1.

Mathematisch bilden Rotationen die spezielle Orthogonal-Gruppe SO(n). In der Ebene (n=2) ist diese Gruppe abelschen und isomorph zur Kreisgruppe S^1; in der dritten Dimension ist SO(3) nicht abelsch und erfordert zusätzliche Parameter wie Achsenwinkel, Eulerwinkel oder Rotationsvektor.

Typische Darstellungen sind Rotationsmatrizen, Einheitsquaternionen und Achsenwinkelnotation. Die Verkettung von Rotationen ist in drei Dimensionen im Allgemeinen nicht kommutativ; die Reihenfolge der Anwendungen ist entscheidend. In der linearen Form entspricht eine Rotation einer orthogonalen Matrix mit Determinante 1, während sie in der nichtlinearen Geometrie oft über Achsen und Winkel beschrieben wird.

Quaternionen ermöglichen eine effiziente Komposition und glatte Interpolation von Rotationen (z. B. Slerp). In der Computergrafik, Robotik und Physik dienen Rotationen zur Modellierung von Orientierung, Kamerabewegung, Drehungen von Objekten und Symmetrieoperationen.

Anwendungsfelder umfassen die Physik, insbesondere Rotationssymmetrien und Impulserhaltung, Geometrie, Computer Grafik, Robotik, Navigation sowie Kristallographie.

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