Einheitsquaternionen

Einheitsquaternionen sind Quaternionen der Form q = a + b i + c j + d k mit der Norm |q| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 1. Sie bilden eine kompakte, geschlossene Untermenge der Quaternionenalgebra H und entsprechen der 3-sphäre S^3 in R^4.

Eine Einheitsquaternion lässt sich als Rotationsdarstellung nutzen: q = cos(θ/2) + u sin(θ/2), wobei θ der Rotationswinkel und u ein Einheitsvektor der Rotationsachse ist. Um eine Vektorrotation eines Vektors v in R^3 zu berechnen, betrachtet man v als rein reines Quaternion p = 0 + v_x i + v_y j + v_z k und wendet die Rotation durch q an: v' = q p q^-1. Der Quaternionenmultiplikation entspricht die Verkettung von Drehungen; das Produkt zweier Einheitsquaternionen ergibt wiederum ein Einheitsquaternion.

Für Einheitsquaternionen gilt q^-1 = q̄, wobei q̄ der konjugierte Quaternion ist: q̄ = a − b i − c j − d k. Da q und −q dieselbe Rotation repräsentieren, liefert die Vorzeichenfreiheit in der Darstellung denselben Rotationsoperator.

Beziehung zu anderen Gruppen: Die Menge der Einheitsquaternionen bildet eine Gruppe, die isomorph zu SU(2) ist. Es existiert eine zweifache Abbildung von dieser Gruppe nach SO(3), die q ↦ R(q) definiert; mehrere Quaternionen (q und −q) entsprechen derselben Drehmatrix. Damit liefern Einheitsquaternionen eine Doppelabdeckung von SO(3).

Anwendungen finden sich in Computergraphik, Robotik, Luft- und Raumfahrt sowie der Robotik- und Animationspraxis, insbesondere durch stabile Interpolation von Drehungen mittels SLERP (spherical linear interpolation) zwischen Einheitsquaternionen.