Symmetrieoperationen

Symmetrieoperationen sind geometrische Transformationen, die ein Objekt auf sich selbst abbilden und dabei seine Form beibehalten. Formal lässt sich eine Symmetrieoperation als Abbildung R von einem Raum auf sich selbst beschreiben, die das betrachtete Objekt invariant lässt.

Zu den grundlegendsten Operationen gehören die Identität E (die nichts verändert), Rotationen Cn um eine Achse, Spiegelungen σ in einer Ebene, die Inversion i durch das Zentrum (x,y,z) -> (-x,-y,-z) sowie Drehspiegelungen Sn, bei denen eine Rotation um eine Achse mit einer anschließenden Spiegelung in einer Ebene senkrecht zur Achse kombiniert wird. In der Kristallographie spielen auch Translationsoperationen eine Rolle, etwa Schraubenachsen (Rotation gefolgt von Translation entlang der Achse) und Glide Ebenen (Spiegelung gefolgt von Translation).

Alle Symmetrieoperationen einer Figur oder eines Kristalls bilden eine Gruppe unter der Verknüpfung der Abbildungen; diese Gruppe wird als Symmetriegruppe bezeichnet. Bei rein ortsfesten Operationen spricht man von einer Punktgruppe, bei Operationen, die Translationen enthalten, von einer Raumgruppe. Charakteristische Eigenschaften der Gruppe sind Abgeschlossenheit, Assoziativität, das Vorhandensein eines Identitätselements und jedes Element besitzt ein inverses Element.

Die Untersuchung von Symmetrieoperationen dient der Klassifikation von Molekülen und Kristallen, der Vorhersage physikalischer Eigenschaften (z. B. Spektren, Bandstrukturen) sowie der Vereinfachung von Berechnungen in Wissenschaft und Technik.