Abgeschlossenheit

Abgeschlossenheit bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Teilmenge eines Mengensystems, in Bezug auf eine gegebene Operation oder Topologie abgeschlossen zu sein. In der algebraischen Bedeutung bezieht sich Abgeschlossenheit auf eine Teilmenge A eines Sets X mit einer binären Operation *, wobei A unter * abgeschlossen ist, wenn für alle a,b ∈ A gilt: a * b ∈ A. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Operation innerhalb der Menge bleibt. Typische Beispiele: Die Menge der geraden ganzen Zahlen 2Z ist unter Addition und Multiplikation abgeschlossen; Die Menge der natürlichen Zahlen N ist unter Addition und Multiplikation abgeschlossen. Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist jedoch unter Subtraktion nicht abgeschlossen, da a − b negativ werden kann.

Die Abgeschlossenheit unter einer oder mehreren Operationen führt zur Bildung von Unterstrukturen: Die von einer gegebenen Menge S erzeugte kleinste Teilmenge, die unter den betrachteten Operationen abgeschlossen ist, nennt man die von S erzeugte Unterstruktur (je nach Kontext etwa Untergruppe oder Untermonoid).

In der Topologie bezeichnet Abgeschlossenheit die Eigenschaft einer Teilmenge, abgeschlossen zu sein: Eine Teilmenge F eines topologischen Raums ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Äquivalent enthält F alle Grenzpunkte von F. Der Abschluss einer Menge A, cl(A), ist das kleinste abgeschlossene Superset von A.