Assoziativität

Assoziativität ist eine Eigenschaft binärer Operationen. Eine binäre Operation ∘ auf einer Menge S heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c in S gilt (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c). Das bedeutet, die Gruppierung der Operanden beim wiederholten Anwenden von ∘ spielt keine Rolle; Klammern können oft weggelassen werden.

Beispiele zeigen, dass viele gängige Operationen assoziativ sind. Die Addition von Zahlen ist assoziativ: (a + b) + c = a + (b + c). Die Multiplikation ist ebenfalls assoziativ: (ab)c = a(bc). Die Konkatenation von Zeichenketten ist assoziativ: (s1s2)s3 = s1(s2s3). Die Funktionenkombination (Komposition) ist assoziativ: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). In der linearen Algebra ist auch Matrixmultiplikation assoziativ, und in der Logik sind AND und OR assoziativ.

Nicht assoziativ sind hingegen Subtraktion, Division und Exponentiation. Typische Beispiele: (a − b) − c ≠ a − (b − c); (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c); (a^b)^c ≠ a^(b^c).

Verwendung: In vielen algebraischen Strukturen ist die Assoziativität eine Grundbedingung. Semigruppen, Monoide und Gruppen setzen sie voraus, damit das Ergebnis von Verkettungen eindeutig ist. In der Kategorie-Theorie wird die Assoziativität der Funktionskomposition formal festgehalten. Praktisch erleichtert sie das Arbeiten mit langen Ausdrücken, da Klammerung oft überflüssig wird.