Translationsoperationen

Translationsoperationen bezeichnen die Verschiebung eines geometrischen Objekts oder einer Funktion um einen festen Vektor. In der Ebene oder im Raum ordnet die Translation jedem Punkt x den Punkt x+v zu, wobei v der Verschiebungsvektor ist. Die Transformation wird T_v genannt.

Translationsoperationen bilden unter der Verkettung eine abelsche Gruppe. Für Vektoren u, v gilt T_u ∘ T_v = T_{u+v} und T_0 ist die Identität. Die Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe des entsprechenden Vektorraums. Diskrete Translationen, etwa durch ganzzahlige Vektoren, wirken auf Gittern und diskreten Signalen.

Auf Funktionen f: R^n -> R definiert man die Translation durch T_v f(x) = f(x - v) (bzw. f(x+v) je nach Konvention). Translationen sind Isometrien und erhalten Abstände, Formen und Maße; sie verändern nur Lage und Orientierung eines Objekts nicht.

Anwendungen finden sich in der Informatik, Bild- und Signalverarbeitung, Computergrafik, Physik und Kristallographie. In der Fourier-Analyse entsprechen Translationen Phasenverschiebungen im Frequenzspektrum; in der Geometrie dienen sie zur Modellierung von Bewegungen ganzer Objekte.

Im weiteren Sinn gehören Translationen zur E(n), der Gruppe der isometrischen Abbildungen des n-dimensionalen Raums. Auf Mannigfaltigkeiten lassen sie sich lokal als Flüsse von Vektorfeldern interpretieren und bilden eine Grundlage für weitere affine oder projektive Transformationen in der Geometrie.