Identitätsabbildung

Die Identitätsabbildung ist in der Mathematik eine Abbildung, die jedes Element einer Menge X auf sich selbst abbildet. Sie wird oft als id_X: X → X notiert und definiert durch id_X(x) = x für alle x ∈ X.

Wesentliche Eigenschaft ist ihre Neutralität bei der Verkettung: Für jede Abbildung f: X → Y gilt f ∘ id_X = f und id_Y ∘ f = f. Damit fungiert id_X als neutrales Element der Funktionskomposition.

In der Kategorientheorie ist id_X die Identität des Objekts X, ein eindeutiger Morphismus von X nach X. Die Identitätsmorphismen bilden zusammen mit der Komposition die axiomatische Struktur jeder Kategorie; sie erfüllen insbesondere id_Y ∘ f = f und g ∘ id_X = g für passende Morphismen.

Weitere Aspekte: Die Identitätsabbildung ist eine Bijektion und ihre Inverse ist wiederum die Identitätsabbildung, id_X^{-1} = id_X. In topologischen oder analytischen Kontexten ist id_X stetig bzw. ein Homomorphismus; in linearen Räumen entspricht sie der Identitätsmatrix I. Beispiel: X = {1, 2, 3} mit id_X(1)=1, id_X(2)=2, id_X(3)=3.

Abgrenzung: Der Begriff sollte nicht mit dem Identitätselement verwechselt werden, das in einer algebraischen Struktur als neutrales Element definiert wird, sondern bezieht sich explizit auf die Abbildung selbst.