Morphismen

Morphismen sind grundlegende Bausteine der Mathematik. In der Algebra, Topologie und insbesondere in der Kategorie-Theorie bezeichnen Morphismen struktur-erhaltende Abbildungen zwischen Objekten. In einer Kategorie ist ein Morphismus f von X nach Y ein Pfeil, der X mit Y verbindet; die Verkettung von Morphismen ist definiert und assoziativ, und zu jedem Objekt gibt es einen Identitätsmorphismus. Diese Struktur ermöglicht es, verschiedene mathematische Konzepte in einer einheitlichen Sprache zu formulieren.

Je nach Kontext unterscheiden sich Morphismen in ihrer konkreten Bedeutung. Gruppenhomomorphismen bewahren die Gruppenoperation, Ringhomomorphismen Addition und Multiplikation und oft auch das Einselement. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind Homomorphismen der entsprechenden algebraischen Strukturen. Topologische Morphismen sind stetige Abbildungen, während in der algebraischen Geometrie Morphismen zwischen Schemata strenge Strukturwahrungen darstellen.

Untertypen von Morphismen sind Monomorphismen und Epimorphismen. Monomorphismen sind linkskancellierbar, Epimorphismen sind rechtsskannellierbar; in der Kategorie Set entsprechen sie Injektionen bzw. Surjektionen, in anderen Kategorien kann dieses Entsprechungsverhältnis abweichen. Isomorphismen sind Morphismen, die einen Umkehrmorphismus besitzen; sie definieren eine Gleichwertigkeit von Objekten. Endomorphismen sind Morphismen vom Objekt zu sich selbst, Automorphismen sind Isomorphismen von einem Objekt auf sich selbst.

Die Konzeptualisierung von Morphismen ermöglicht eine abstrahierte, universelle Sicht auf Strukturbeziehungen und bildet die Grundlage für weiterführende Begriffe wie Funktoren und natürliche Transformationen in der Kategorie-Theorie.