Isomorphismen

Isomorphismen sind Abbildungen zwischen mathematischen Strukturen, die deren Struktur erhalten und bijektiv sind. Zwei Strukturen A und B heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von A nach B gibt. Isomorphie bedeutet, dass A und B in der betrachteten Hinsicht identisch sind, auch wenn ihre konkrete Darstellung verschieden sein kann.

Formal gilt: Sind A und B algebraische Strukturen derselben Art (zum Beispiel Gruppen, Ringe, Vektorräume oder Graphen), dann ist eine Abbildung f: A → B ein Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist und für alle Operationen die Struktur erhalten wird. Das heißt, es gilt f(a ·A a′) = f(a) ·B f(a′) für alle a, a′ in A, wobei ·A und ·B die jeweiligen Operationen sind. Dann besitzt f eine inverse Abbildung, die ebenfalls eine Homomorphie ist. Strukturen, die durch einen Isomorphismus miteinander verbunden sind, sind in diesem Sinn äquivalent.

Geeignete Beispiele umfassen lineare Isomorphismen zwischen Vektorräumen, Gruppenisomorphismen, Ring- bzw. Feldisomorphismen sowie Graphisomorphismen. Im Graphenfall heißt G = (V,E) und H = (W,F) isomorph, wenn eine bijektive Abbildung φ: V → W existiert, sodass {u,v} ∈ E genau dann {φ(u), φ(v)} ∈ F ist.

Folgen und Begriffe: Isomorphien bewahren invarianten Eigenschaften wie Ordnung oder Dimension. Strukturen, die isomorph zueinander sind, haben dieselben algebraischen Eigenschaften. Ein Isomorphismus von einer Struktur zu sich selbst heißt Automorphismus; die Menge aller Automorphismen bildet eine Gruppe. Isomorphismus ist damit das zentrale Konzept zur Identifikation von mathematischen Objekten durch ihre Struktur.