Vektorräume

Ein Vektorraum V über einem Körper F ist eine Menge von Vektoren, die mit zwei Operationen ausgestattet ist: einer Vektoraddition +: V × V → V und einer Skalarmultiplikation ·: F × V → V. Diese Operationen erfüllen die Axiome der Abgeschlossenheit, der Assoziativ- und Kommutativgesetze der Addition, die Existenz eines additiven Identitätselements 0 und jedes Vektors besitzt ein additives Inverses −v, sowie die Distributivgesetze a·(u+v) = a·u + a·v, (a+b)·v = a·v + b·v und (ab)·v = a·(b·v). Zudem gilt 1·v = v für alle v in V. F ist ein Körper, typischerweise die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C.

Typische Beispiele sind der Raum R^n mit der Standardaddition und Skalarmultiplikation, der Funktionsraum F(X, F) aller Funktionen X → F oder der Polynomraum F[x]. Diese Räume können endlich oder unendlich dimensional sein. Eine Untermenge von V heißt Unterraum, wenn sie abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation ist und damit selbst einen Vektorraum bildet.

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination zu Null existiert. Der von einer Menge S erzeugte Raum heißt Span(S). Eine erzeugende und linear unabhängige Menge heißt Basis; der Raum wird endlich erzeugt oder besitzt endliche Dimension, wenn es eine endliche Basis gibt. Die Dimension dim(V) ist die Kardinalität jeder Basis und dient als Invariant.

Viele Vektorräume werden durch lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen beschrieben. Zwei Vektorräume der gleichen Dimension sind isomorph, das heißt es existiert eine bijektive lineare Abbildung zwischen ihnen. In der Praxis dient die Struktur der Vektorräume als Grundlage für Begriffe wie Basiswechsel, Spannen und lineare Abhängigkeit in vielen Bereichen der Mathematik.