Kardinalität

Kardinalität ist in der Mengenlehre das Maß für die Anzahl der Elemente einer Menge. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt; dann gilt |A| = |B|. Das Symbol |A| bezeichnet die Kardinalität von A.

Endliche Mengen haben endliche Kardinalitäten, die einfach durch eine natürliche Zahl angegeben werden. Beispielsweise hat die Menge {1, 2, 3} die Kardinalität |{1,2,3}| = 3.

Unendliche Mengen besitzen unendliche Kardinalitäten. Die Menge der natürlichen Zahlen N hat die Kardinalität aleph_0 (oft als ω bezeichnet). Die Menge der rationellen Zahlen Q ist abzählbar, daher gilt auch |Q| = aleph_0. Die Menge der reellen Zahlen R besitzt die Kardinalität des Kontinuums c = 2^{aleph_0} und ist unzählbar.

Cantorscher Satz und Kontinuum: Für jede Menge A gilt |A| < |P(A)|, der Potenzmenge von A. Damit existieren streng größere Kardinalitäten als die von A. Die Potenzmenge von N hat also die Kardinalität c.

Kardinalzahlen und Ordinalzahlen: In der ZFC-Setentheorie kann man Kardinalzahlen als bestimmte Ordinalzahlen auffassen (Initialordinalzahlen). Die Kardinalzahl einer Menge ist die kleinste Ordinalzahl mit dieser Kardinalität.

Kardinalarithmetik: Für unendliche Kardinalzahlen κ und λ gilt grob gesagt, κ + λ = max(κ, λ) und κ · λ = max(κ, λ) (solange mindestens eine Größe unendlich ist). Potenzierungen erhöhen die Kardinalität, z. B. 2^κ. Die Kontinuumshypothese fragt, ob c = aleph_1.

Beispiele: |N| = aleph_0, |Q| = aleph_0, |R| = 2^{aleph_0}. Die Beziehung zwischen verschiedenen Kardinalitäten wird häufig durch Injektionen, Bijektionen und den Cantor-Bernstein-Satz untersucht.