Bijektionen

Bijektion (bijektive Abbildung) ist eine Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B, die injektiv und surjektiv zugleich ist. Injektivität bedeutet, dass verschiedene Elemente von A unterschiedliche Bilder haben, Surjektivität bedeutet, dass jedes Element von B als Bild eines Elements aus A vorkommt. Eine Bijektion ergibt somit eine Eins-zu-eins- und onto-Beziehung zwischen A und B, und A und B haben dieselbe Mächtigkeit (Kardinalität).

Eine Bijektion besitzt eine eindeutige Umkehrfunktion f^{-1}: B → A; diese Umkehrfunktion erfüllt f^{-1}(f(a)) = a und f(f^{-1}(b)) = b.

Wichtige Eigenschaften: Die Komposition zweier Bijektionen ist wieder eine Bijektion; eine Bijektion hat genau eine inverse Funktion; Bijektionen erhalten die Kardinalität. Existiert eine Bijektion zwischen A und B, so gilt |A| = |B|; bei endlichen Mengen entspricht dies der Gleichheit der Elementzahlen. Bei unendlichen Mengen kann es trotz scheinbarer Unterschiedlichkeit eine Bijektion geben (z. B. N und Z).

Beispiele: Die Funktion f: Z → Z mit f(n) = −n ist eine Bijektion (ihre Inverse ist wieder f). Die Abbildung g: {1,2,3} → {a,b,c}, g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c, ist eine Bijektion. Eine nicht-bijektive Funktion ist h: R → R, h(x) = e^x, da ihr Bild (-∞,∞) nicht ganz R umfasst; injektiv ist sie jedoch. Die Funktion j(x) = 2x ist bijektiv, mit Umkehrfunktion x/2.

Anwendungen: Bijektionen dienen der Zählung und der Eins-zu-eins-Zuordnung in der Kombinatorik; oft verwendet man Bijektionen, um Größenordnungen oder Strukturen zu vergleichen. Die Menge aller Bijektionen einer Menge mit sich selbst bildet die Symmetriegruppe dieser Menge und beschreibt alle möglichen Strukturwechsel.