Surjektivität

Surjektivität ist eine Eigenschaft einer Funktion f: X → Y zwischen Mengen X und Y. Die Funktion ist surjektiv (onto), wenn jedes Element y in Y als Bild eines Elements x aus X vorkommt. Formal gilt: Für jedes y ∈ Y existiert x ∈ X mit f(x) = y. Gleichbedeutend ist f(X) = Y; das Bild von f ist ganz Y.

Diese Eigenschaft hängt vom gewählten Zielbereich ab. Eine Funktion kann surjektiv erscheinen, wenn Y klein gewählt ist, aber nicht surjektiv, wenn Y größer gewählt wird. Beispiele: f: R → R, f(x) = x^3, ist surjektiv; f(x) = e^x ist nicht surjektiv auf ganz R, wohl aber surjektiv auf das Intervall (0, ∞). Eine weitere Example ist die Projektion p: R^2 → R, p(x, y) = x, die surjektiv ist, da jeder y-Wert als Bild eines passenden (x, y) getroffen wird.

Surjektivität steht im Gegensatz zur Injektivität: Eine injektive Funktion ordnet verschiedenen Elementen des Definitionsbereichs verschiedene Elemente des Zielbereichs zu. Eine Bijektion ist sowohl injektiv als auch surjektiv und ergibt eine eindeutige Zuordnung beider Mengen. Die Surjektivität bedeutet somit, dass das Ziel vollständig getroffen wird, während die Injektivität sicherstellt, dass keine zwei Quellen dasselbe Ziel erhalten.

Zu den Eigenschaften: Wenn f: X → Y und g: Y → Z gegeben sind, gilt: Wenn g ∘ f surjektiv ist, dann ist g surjektiv; f muss nicht notwendigerweise surjektiv sein. Ist f surjektiv und g beliebig, dann ist g ∘ f ebenfalls surjektiv. Eine surjektive Funktion besitzt oft ein Rechtsinverse (unter Wahlannahmen), sodass es eine Abbildung h: Y → X mit f(h(y)) = y gibt.