Umkehrfunktion

Eine Umkehrfunktion, auch inverse Funktion genannt, ist eine Funktion, die die Abbildung einer Ausgangsfunktion rückgängig macht. Sind f: A -> B und g = f^{-1}: B -> A, dann gilt f(g(y)) = y für alle y in B und g(f(x)) = x für alle x in A. Die Umkehrfunktion vertauscht also Domain und Bild.

Existenz und Eigenschaften

Eine Umkehrfunktion existiert genau dann, wenn f bijektiv ist: injektiv (jedes Element von A hat höchstens ein Bild) und surjektiv (jedes Element von B wird getroffen). Praktisch prüft man dies oft durch den Horizontalen Linien-Test: Eine Funktion ist invertierbar, wenn sie auf dem betrachteten Definitionsbereich eindeutig ist. Liegt die Injektivität nicht vor, lässt sich häufig der Definitionsbereich einschränken, z. B. auf monotone Teilbereiche, so dass eine Umkehrfunktion sinnvoll wird. Die Umkehrfunktion erfüllt stets f^{-1}(f(x)) = x und f(f^{-1}(y)) = y, wobei Dom f^{-1} = Bild f und Bild f^{-1} = Definitionsbereich f.

Notation und Beispiele

f(x) = 2x + 3 ist eine bijektive Abbildung von R nach R; ihre Umkehrfunktion ist f^{-1}(y) = (y − 3)/2. Die Exponentialfunktion f(x) = e^x bildet R→(0, ∞) ab, ihre Umkehrung ist der natürliche Logarithmus ln(y). Viele trigonometrische Funktionen sind nicht global injektiv; auf geeigneten Definitionsbereichen erhält man inverse Funktionen wie arcsin, arccos oder arctan.

Ableitung und lokales Inverse

Nach dem Inversionssatz existiert eine lokale Umkehrfunktion, wenn f differentiierbar ist und f'(a) ≠ 0. Dann gilt (f^{-1})'(f(a)) = 1 / f'(a). Insgesamt dient die Umkehrfunktion dazu, die ursprüngliche Beziehung y = f(x) nach x in Abhängigkeit von y zu lösen.

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