Inversionssatz

Inversionssatz, in der Geometrie oft als Inversionssatz bezeichnet, bezeichnet eine Reihe von Aussagen über die Geometrie der Inversion, einer Transformation, die mit einem festen Kreis oder einer festen Kugel verbunden ist. In der Ebene wird üblicherweise die Inversion mit Mittelpunkt O und Radius R gewählt. Für jeden Punkt P ≠ O liegt das Bild P′ auf der Geraden OP und erfüllt die Gleichung OP · OP′ = R^2. Der Punkt O hat kein Bild (in der erweiterter Ebene wird ∞ als Bild von O eingeführt).

Wesentliche Eigenschaften der Inversion betreffen, wie geometrische Objekte unter dieser Transformation abgebildet werden. Eine Linie, die O nicht enthält, wird zu einem Kreis durch O; ein Kreis, der O nicht enthält, wird zu einem Kreis, der O nicht enthält. Eine Linie durch O bleibt eine Linie durch O. Ein Kreis durch O wird zu einer Geraden, die O nicht enthält; ein Kreis, der O enthält, wird zu einer Linie durch O? Nein, korrekt: Ein Kreis durch O wird zu einer Geraden, die nicht durch O geht. Allgemein gilt: Generalisierte Kreise (Kreise oder Geraden) werden unter Inversion wieder zu generalisierten Kreisen. Die Inversion ist konform, das heißt Winkel werden in ihrer Größenordnung erhalten, ihre Orientierung wird jedoch umgekehrt.

Anwendungen der Inversion liegen in der Vereinfachung geometrischer Konstellationen: komplizierte Abstände oder Schnittpunkte lassen sich oft transformieren, sodass sich Kreise und Geraden durch einfache Eigenschaften darstellen lassen. Typische Einsatzgebiete sind Beweise von Tangenz- und Berührungseigenschaften, Lagenprobleme und die Konstruktion von Inversionen zur Lösung geometrischer Aufgaben.

Historisch gehört die Geometrie der Inversion zu den klassischen Werkzeugen der euklidischen Geometrie des 19. Jahrhunderts; sie dient seither als Grundlage zahlreicher Techniken in der Kreis- und Liniengeometrie sowie in der Möbius-Transformation. Siehe auch Möbius-Transformation, Kreisgeometrie.