abzählbar

Abzählbar bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Menge, entweder endlich zu sein oder einer Bijektion mit den natürlichen Zahlen zu entsprechen. Eine unendliche abzählbare Menge wird oft als abzählbar unendlich bezeichnet. Mengen, die weder endlich noch abzählbar sind, gelten als unzählbar. Allgemein gilt: Eine Menge A ist abzählbar genau dann, wenn es eine Bijektion f: A → N gibt oder A endlich ist.

Typische Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N ist abzählbar. Auch die ganzen Zahlen Z ist abzählbar, ebenso die rationalen Zahlen Q. Jede endliche Menge ist abzählbar. Die Menge der geraden Zahlen 2N ist abzählbar, da sie über eine Bijektion mit N mit N in Äquivalenz gesetzt werden kann. Eigenschaften wie diese erleichtern es, viele Konzepte der Zählbarkeit systematisch zu behandeln.

Wichtige Eigenschaften betreffen Zusammensetzungen: Eine endliche Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar; das Produkt zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar; unter bestimmten Bedingungen bleibt auch eine abzählbare Vereinigung abzählbar. Nicht alle unendlichen Mengen sind abzählbar: Die Menge der reellen Zahlen R ist unzählbar. Cantors Diagonalargument beweist, dass R nicht abzählbar ist; auch die Potenzmenge von N ist unzählbar.

Zusammenfassung: Abzählbarkeit klassifiziert Mengen hinsichtlich ihrer Größe auf eine Weise, die zwischen Finite und Unendlichkeit unterscheidet. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Mengenlehre und der Analysis, insbesondere beim Verständnis von Zähldichte, Reihen und der Struktur unendlicher Mengen.