abzählbare

Abzählbare Mengen sind in der Mengenlehre diejenigen Mengen, die entweder endlich sind oder eine Bijektion mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen N besitzen. Formal bedeutet dies, dass eine Menge A abzählbar ist, wenn es eine Bijektion zwischen A und einer Teilmenge von N gibt. Entsprechend wird zwischen abzählbar endlich und abzählbar unendlich unterschieden: Abzählbar unendlich bedeutet die Gleichmächtigkeit mit N, während abzählbar endlich Finite beschreibt.

Alternative Formulierungen verwenden oft den Begriff der Kardinalität: Eine Menge ist abzählbar, wenn sie gleichmächtig mit einer Teilmenge von N ist oder mit N selbst, falls sie unendlich ist. Alles, was sich in einer endlichen oder zählbaren Reihenfolge aufzählen lässt, gehört somit zur Klasse der Abzählbaren. Im Englischen spricht man von countable sets; der englische Begriff countable umfasst meist beides, finite und countably infinite.

Beispiele: Die natürlichen Zahlen N, die ganzen Zahlen Z und die rationalen Zahlen Q sind abzählbar. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. Im Gegensatz dazu ist die Menge der reellen Zahlen R unzählbar, was durch Cantors Diagonalargument gezeigt wird; auch das Intervall (0,1) ist unzählbar.

Eigenschaften: Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. Die Eigenschaft, dass eine abzählbare Menge abzählbar bleibt, ist in vielen mathematischen Kontexten hilfreich, etwa beim Konstrukieren von Enumerationen oder bei Beweisen durch Induktion.

Verwendung: Abzählbarkeit spielt eine zentrale Rolle in Analysis, Kombinatorik und Logik. Abzählbare Mengen sind in vielen Kontexten "kleiner" als unzählbare Mengen, beispielsweise haben abzählbare Mengen in der Regel das Maß Null im reellen Zahlenraum.