IsomorphismusKonzept

IsomorphismusKonzept bezeichnet in der Mathematik das Konzept der Isomorphie als formale Beziehung zwischen Objekten unterschiedlicher Strukturen, die sie als strukturell äquivalent auffasst. Es geht darum, Objekte als gleichwertig zu betrachten, sofern eine Bijektion zwischen ihnen existiert, die alle relevanten Struktureigenschaften erhält.

Formal wird ein Isomorphismus zwischen zwei Strukturen A und B derselben Signatur als eine bijektive Abbildung f: A → B definiert, die alle Operationen und Prädikate erhält. Das heißt, für jede Operation o gilt f(o(a1,...,an)) = o(f(a1),...,f(an)) und für jede Relation R gilt R(a1,...,an) genau dann, wenn R(f(a1),...,f(an)).

IsomorphismusKonzept findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik: In der Algebra vergleicht man Gruppen, Ringe und Vektorräume über Isomorphismen; in der Graphentheorie entspricht Isomorphie einer Bijektion der Knotenmengen, die die Nachbarschaften erhält. In der Kategorientheorie entsprechen Isomorphismen invertierbaren Morphismen; Automorphismen sind Isomorphismen eines Objekts zu sich selbst.

Eine zentrale Folge des IsomorphismusKonzepts ist die Bildung von Isomorphieklassen, d. h. Mengen von Objekten, die untereinander isomorph sind. Invariante Merkmale wie Ordnung, Dimension oder Inzidenzen bleiben unter Isomorphismen erhalten, während bloße Bezeichnungen keine Rolle spielen.

Beispiele: Die additive Gruppe Z ist isomorph zu der Gruppe 2Z, wobei die Abbildung n ↦ 2n eine Strukturtreue darstellt. Ein Quadratgraph (C4) ist isomorph zu jedem anderen 4‑Knoten-Quadratgraphen, aber nicht zu einem Pfadgraphen P4.

Siehe auch: Isomorphismus, Automorphismus, Invariante, Struktur.