Standardtopologie

Die Standardtopologie, häufig auch als Euclidische Topologie bezeichnet, ist die Topologie des euklidischen Raums R^n, die durch die euklidische Metrik d(x, y) = ||x − y|| erzeugt wird. Sie wird als natürliche Topologie auf R^n bezeichnet und bildet die Grundlage für die Analysis in mehrdimensionalen Vektorräumen. Eine Basis der Topologie besteht aus offenen Kugeln B_r(a) = {x ∈ R^n | ||x − a|| < r}. Offene Mengen sind genau die Vereinigung solcher Kugeln; damit ist die Standardtopologie die Metriktopologie, die aus der Metrik d abgeleitet wird.

Eigenschaften: Die Topologie ist hausdorff, metrisch und besitzt eine abzählbare Basis, d. h. sie ist zweifach zählbar. Sie ist separabel, lokal kompakt und normal. Der Raum R^n ist zusammenhängend (für n ≥ 1); viele Unterräume weisen ähnliche Eigenschaften auf. Konvergenz, Stetigkeit und Fortsetzung werden in dieser Topologie wie in der klassischen Analysis verstanden.

Kompaktheit: In R^n gilt das Heine-Borel-Kriterium: Eine Teilmenge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Dadurch vereinfacht sich das Verständnis von Folgezusammenhängen, die in der Praxis häufig vorkommen.

Unterräume: Für A ⊆ R^n erhält A die Unterraumtopologie: U ⊆ A ist offen, genau dann, wenn U = A ∩ V mit V offen in R^n. Die Unterraumtopologie erhält man also durch Restriktion der offenen Mengen.

Produktstruktur: Die Standardtopologie auf R^m × R^n stimmt mit der Produkttopologie überein; die Koordinatenprojektionen sind stetig, und die topologische Struktur bleibt stabil unter produkthaften Bildung. Anwendungen finden sich in Analysis, Geometrie und Maßtheorie.