Volumenintegral

Das Volumenintegral ist das Integral einer Funktion über ein dreidimensionales Gebiet V ⊂ R^3. Für eine skalare Funktion f: R^3 → R wird es notiert als ∭_V f(x,y,z) dV, wobei dV das Volumenelement ist (in kartesischen Koordinaten dV = dx dy dz). Es dient zur Quantifizierung räumlich verteilter Größen wie Masse oder Ladung. Falls f konstant ist, liefert das Volumenintegral das Produkt aus Funktionswert und Volumen von V.

Das Volumenintegral wird auch in verschiedene Koordinatensysteme überführt. In zylindrischen Koordinaten (r, θ, z) gilt dV = r dr dθ dz; in sphärischen Koordinaten (ρ, φ, θ) gilt dV = ρ^2 sinφ dρ dφ dθ. Die Grenzen von V bestimmen die jeweiligen Integrationsgrenzen, die je nach Form von V als unregelmäßige Intervalle oder Flächen angegeben werden. Das Integral lässt sich oft als iteriertes Integral schreiben, gemäß dem Fubini-Theorem, z. B. ∭_V f dV = ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz über die entsprechenden Grenzen.

Anwendungen des Volumenintegrals finden sich in Wissenschaft und Technik. Typische Beispiele sind die Berechnung der Gesamtmasse M = ∭_V ρ(x,y,z) dV, der Schwerpunkt (X̄,Ȳ Z̄) = (1/M) ∭ x ρ dV, oder Trägheitsmomente. In der Wahrscheinlichkeitstheorie entspricht eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x,y,z) in einem Raumgebiet der Bedingung ∭ p dV = 1, und Erwartungswerte werden durch Integrale von f über p berechnet. Das Volumenintegral lässt sich zur Analyse von Größenverteilungen und physikalischen Größen über räumliche Regionen hinweg verwenden.