Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das den mathematischen Umgang mit Zufall und Unsicherheit formalisiert. Sie entwickelt Modelle, Prinzipien und Werkzeuge, um Ereignisse zu quantifizieren, abzuleiten und zu vergleichen. Die heutige moderne Form basiert maßgeblich auf den Axiomen von Kolmogorov, die Wahrscheinlichkeit als Maß auf einer Sigma-Algebra definieren.

Zentrale Begriffe sind: Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Experiments eine Zahl zu; ihre Verteilung beschreibt, wie wahrscheinlich Werte auftreten. Wichtige Größen sind der Erwartungswert und die Varianz. Die Grundregeln folgen aus den Kolmogorov-Axiomen: P(A) ∈ [0,1], P(Ω)=1, P(⋃A_i)=sum P(A_i) für paarweise disjunkte Ereignisse; bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B)=P(A∩B)/P(B) für P(B)>0.

Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheidet diskrete Modelle, in denen Wahrscheinlichkeiten auf abzählbaren Ergebnissen definiert sind, und stetige Modelle, in denen Verteilungen durch Verteilungs- oder Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben werden. Bekannte Verteilungen sind Binomial-, Normal-, Poisson- und Exponentialverteilungen. Stochastische Prozesse wie Markov-Ketten, Poissonprozesse oder Brownsche Bewegung modellieren zeitliche Abfolgen von Zufallsgrößen; der zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen beschreiben unter Wiederholung von Experimenten das Auftreten stabiler Grenzverteilungen.

Anwendungen finden sich in Statistik, Wissenschaftstheorie, Finanzen, Physik, Ingenieurwesen und Informatik. Die Theorie liefert Grundlagen für Inferenzverfahren, Hypothesentests, Bayes'sche Methoden sowie für die Risikomodellierung und Simulation (Monte-Carlo-Methoden).

Historisch entwickelten sich frühe Fragestellungen aus Problemen des Glücksspiels im 17. Jahrhundert (Fermat, Pascal) und wurden im 18. und 19. Jahrhundert von Bernoulli, Gauss, Laplace und anderen vertieft. Die formale Axiomatik durch Kolmogorov im 20. Jahrhundert half der Disziplin eine einheitliche Grundlage zu geben und legte damit die Basis für moderne Stochastik.