Koordinatensysteme

Koordinatensysteme sind mathematische Werkzeuge, die Punkte eines Raums durch Koordinaten darstellen. In einem n-dimensionalen Raum besteht ein Koordinatensystem aus einem Ursprung, n Achsen bzw. Basisvektoren und einer Zuordnung, die jeden Punkt eindeutig einer n-Tupel von Zahlen zuordnet. Die gebräuchlichste Form ist das kartesische Koordinatensystem, bei dem Punkte als (x1, x2, ..., xn) relativ zu orthogonalen Achsen gemessen werden. In der Ebene genügt (x, y); im dreidimensionalen Raum (x, y, z). Andere Koordinatensysteme verwenden andere Achsenstellungen, zum Beispiel Polarkoordinaten (r, θ) in der Ebene oder Zylinder- und Kugelkoordinaten im Raum.

Jede Koordinatenart beruht auf einer Basis des Vektorraums: x = sum xi ei. Die Koordinaten ändern sich bei einer Basisänderung, während der Punkt im Raum unverändert bleibt. Transformationen, wie Rotation, Translation oder Skalierung, führen zu anderen Koordinaten desselben Punktes. Ob ein Koordinatensystem rechts- oder linkshändig ist, hängt von der Orientierung der Basis ab.

Koordinatensysteme erleichtern die Beschreibung geometrischer Objekte, Abstände und Richtungen. In der Praxis finden sie Anwendung in Geometrie, Physik, Computergraphik und Geoinformation: Punkte werden in Kartenkoordinaten, Bildschirmkoordinaten oder Weltkoordinaten dargestellt. Allgemein lässt sich ein Koordinatensystem auch als Orientierung des Raums mittels Basisvektoren verstehen; der Vorteil besteht darin, Vektoroperationen in Koordinaten zu schreiben.