Massenverteilungen

Massenverteilungen bezeichnen die räumliche Verteilung von Masse in einem Objekt oder System. In der Kontinuumsmechanik wird die Masse durch eine Massen­dichte rho(r) beschrieben, sodass dm = rho dV gilt. Die Gesamtmasse M ergibt sich aus M = ∫ rho dV über das betrachtete Volumen. Der Schwerpunkt der Masse hat die Koordinaten R = (1/M) ∫ r rho dV. Das Trägheitsmoment I, das die Rotationsdynamik bestimmt, ergibt sich aus I = ∫ r^2 dm = ∫ r^2 rho dV. In eindimensionaler Form, etwa bei einer Stange, mit linearer Dichte lambda(x) = dm/dx, lauten die Formeln entsprechend M = ∫ lambda dx und x̄ = (1/M) ∫ x lambda dx.

Neben der kontinuierlichen Beschreibung können auch diskrete Massenverteilungen vorliegen, z. B. eine Menge von Massenpunkten m_i an Positionen r_i. Gesamtmasse M = ∑ m_i, Schwerpunkt R = (1/M) ∑ m_i r_i. Massenverteilungen werden in vielen Bereichen genutzt, von der Strukturmechanik über Geophysik bis zur Astrophysik; häufig werden 2D- oder 3D-Verteilungen von Dichteflächen oder Volumen betrachtet, etwa sigma(x,y) für Flächen- oder rho(r) für Volumenverteilungen.

Typische Formen von Massenverteilungen sind Uniform-, Gauß-, Exponential- oder Power-law-Verteilungen, je nach Material, Geometrie oder physikalischem Prozess. In der Materialwissenschaft spricht man auch von Dichteverteilungen, während in der Physik oft das Massenspektrum oder die Verteilung von Massenanteilen in einer Population untersucht wird.

Bestimmung und Anwendung: Massenverteilungen werden durch Messungen (Gewicht, Dichtemessung, Bildgebung wie CT/MRT, Gravimetrie) oder aus theoretischen Modellen abgeleitet. Sie bestimmen Stabilität, Struktur und dynamische Reaktionen von Systemen.