Oberflächeninhalte

Oberflächeninhalte bezeichnet in der Geometrie die Flächeninhalte zweidimensionaler Gebiete. Im engeren Sinn entspricht der Oberflächeninhalt der Fläche eines Gebietes in der Ebene; im Raum spricht man von der Fläche einer zweidimensionalen Fläche in drei Dimensionen. Die übliche Maßeinheit ist Quadratmeter (m²); auch Quadratcentimeter (cm²) oder Quadratkilometer (km²) können verwendet werden.

Für gängige Formen gelten einfache Formeln. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist A = a · b, eines Quadrats A = a², eines Dreiecks A = 1/2 · Basis · Höhe, und eines Kreises A = π · r². Allgemein gilt: Der Flächeninhalt addiert sich über disjunkte Teilgebiete (Additivität). Flächeninhalte bleiben bei Translationen und Rotationen unverändert (Invarianz unter isometrischen Abbildungen). Beim Skalieren um den Faktor k wächst der Flächeninhalt um k².

Bei unregelmäßigen Formen verwendet man Integrale. In der Ebene wird A = ∬_D 1 dA berechnet, wobei D das Gebiet ist. Für Polygone lässt sich der Flächeninhalt auch mit der Shoelace-Formel bestimmen. In der Praxis erfolgt oft eine Näherung durch Zerlegung oder numerische Integrationsverfahren.

Oberflächeninhalte von Flächen im Raum lassen sich durch Flächenintegrale berechnen. Sei S eine Fläche mit Parametrisierung r(u,v); der Flächeninhalt ergibt sich als A = ∬_D ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv. Dabei entspricht die integrandierte Größe dem Absolutwert des Normalsvektors; Orientierung spielt bei der bloßen Flächeinhaltseigenschaft keine Rolle.

Zusammenhang und Anwendungen: Oberflächeninhalte sind zentrale Größen in Physik, Architektur, Vermessung und Design und bilden das zweidimensionale Maß in der Geometrie.