Flächeninhalte

Flächeninhalte bezeichnet in der Geometrie die Größe eines zweidimensionalen Gebiets. Er ist eine Maßzahl der Ausdehnung in der Ebene und wird in Quadrat-Einheiten angegeben, etwa Quadratmeter (m²) oder Quadratmillimeter (mm²). Der Flächeninhalt einer Figur bleibt unverändert durch Translation, Rotation oder Spiegelung.

Flächeninhalte lassen sich durch Zerlegung in Teilflächen berechnen, wobei die Flächen additiv sind. Für viele einfache Formen gelten Standardformeln: Rechteck A = Länge × Breite; Quadrat A = Seite²; Dreieck A = 1/2 × Grundseite × Höhe; Parallelogramm A = Grundseite × Höhe; Trapez A = (a + b)/2 × Höhe; Kreis A = π × r², wobei r der Radius ist.

Für unregelmäßige oder zusammengesetzte Flächen nutzt man oft Integration oder Koordinatenmethoden: A = ∫∫_R dA; bei Funktionenbeschränkungen A = ∫_{x=a}^{b} f(x) dx oder A = ∫_{y=c}^{d} g(y) dy, je nach Geometrie. In der Geometrie von Polygonen lässt sich der Flächeninhalt auch durch Zerlegung in Dreiecke oder durch Formeln der Koordinatengeometrie ermitteln.

Historisch entwickelte sich der Flächeninhalt in der Antike durch Geometrie, und die Analysis führte ihn durch Integration formal ein. Anwendungen finden sich in Mathematik, Physik, Technik und Kartografie, überall dort, wo Größen von Gebieten quantifiziert werden müssen.