Funktionenbeschränkungen

Funktionenbeschränkungen bezeichnet in der Mathematik verschiedene Arten, eine Funktion in ihrem Geltungsbereich enger zu fassen oder ihren Wertebereich einzugrenzen. Dazu gehören die Einschränkung des Definitionsbereichs, die Einschränkung des Wertebereichs sowie das Festlegen von Bedingungen, unter denen die Funktion definiert ist.

Einschränkung des Definitionsbereichs: Man betrachtet eine Funktion f: D → Y und beschränkt ihren Definitionsbereich auf eine Teilmenge D' ⊆ D. Die eingeschränkte Funktion wird üblicherweise mit der Symbolik f|D' geschrieben und erfüllt dann f|D'(x) = f(x) für alle x ∈ D'.

Einschränkung des Wertebereichs: Man verändert den Zielbereich statt des Domäns, z. B. g: D → Y' mit Y' ⊆ Y. Dabei erfüllt g(x) ∈ Y' für alle x ∈ D, wodurch der Wertebereich gezielt eingeschränkt wird.

Bedingte Beschränkung und Beispiele: Man kann Funktionen auch durch Bedingungen beschränken, z. B. f eingeschränkt auf x ≥ 0; oder die Beschränkung kann durch zusätzliche Annahmen entstehen, etwa eine Argumentfunktion, die nur auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs definiert ist. Eine weitere, eng verwandte Idee ist die Beschränktheit einer Funktion: Eine Funktion f ist beschränkt auf eine Menge A, wenn es eine Konstante M gibt mit |f(x)| ≤ M für alle x in A.

Verwendung: Funktionsbeschränkungen spielen in der Analysis, der Funktionentheorie, der Numerik und bei der Formulierung von Rand- bzw. Anfangsbedingungen eine Rolle. Sie ermöglichen lokale Untersuchungen von Funktionen und erleichtern das Verständnis von deren Verhalten unter bestimmten Umständen.