Beschränktheit

Beschränktheit bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft, dass die Ausdehnung eines Objekts durch eine endliche Größe begrenzt ist. In einem metrischen Raum (X, d) ist eine Teilmenge A ⊆ X beschränkt, wenn es ein Zentrum x0 ∈ X und einen Radius r ≥ 0 gibt, sodass d(x, x0) ≤ r für alle x ∈ A. Der Durchmesser diam(A) = sup{d(x,y) : x,y ∈ A} ist dann endlich. Entsprechend liegt A in einem Ball endlichen Radius.

In Real- oder Vektorräumen entspricht Beschränktheit der Zugehörigkeit zu einer festen Kugel. Beispiele: Das Intervall [a,b] ist beschränkt; die Menge der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt. Nach dem Heine-Borel-Theorem ist eine Teilmenge von R^n genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Für Folgen und Funktionen: Eine Folge (x_n) ist beschränkt, wenn es ein M ≥ 0 gibt mit |x_n| ≤ M für alle n. Eine Funktion f: X → R ist beschränkt, wenn ihr Bild eine beschränkte Teilmenge von R ist; z. B. gilt |sin x| ≤ 1. Allgemein gilt: Ist X beschränkt oder ist f stetig auf einer kompakten Menge, folgt oft Beschränktheit durch den Satz von Weierstraß.

Operatoren: In normierten Räumen ist ein linearer Operator T beschränkt, falls eine Konstante C ≥ 0 existiert mit ||Tx|| ≤ C||x|| für alle x. Beschränktheit gilt dann gleichbedeutend mit Stetigkeit.