Wertebereichs

Wertebereich, auch Range oder Bildmenge genannt, bezeichnet in der Mathematik die Menge aller Ausgabewerte einer Funktion. Gegeben ist eine Funktion f mit Definitionsbereich D (Domain) und Ziel- bzw. Codomain Y. Der Wertebereich ist das Bild der Funktion: Wertebereich = {f(x) | x in D}, eine Teilmenge von Y.

Unterschied zwischen Codomain und Wertebereich: Der Codomain ist die vorgegebene Zielmenge, in die die Funktionswerte theoretisch gehören können. Der Wertebereich ist tatsächlich erzeugt durch die Funktion und kann eine echte Teilmenge des Codomain sein. Beispiel: f: R → R mit f(x) = x^2 hat Codomain R, aber Wertebereich [0, +∞). Wenn man den Definitionsbereich auf R+ beschränkt, bleibt der Wertebereich ebenfalls [0, +∞).

Berechnung und Bestimmung: Um den Wertebereich zu bestimmen, analysiert man die möglichen Funktionswerte. Bei einfachen Funktionen genügt oft eine direkte Bestimmung oder das Untersuchen von Extremwerten. Bei stetigen Funktionen auf geschlossenen Intervallen ergeben sich Minimal- und Maximalwerte. Für unendliche oder unbeschränkte Bereiche kann der Wertebereich unendlich sein (z. B. f(x) = e^x hat Wertebereich (0, ∞)). Bei Stückweisen definierten Funktionen betrachtet man die einzelnen Teile separat. In der diskreten (endlichen) Fallliste man alle Funktionswerte auf.

Beispiele: Für f(x) = sin(x) auf ganz R ist der Wertebereich [-1, 1]. Für f(x) = x^2 mit D = R ist der Wertebereich [0, ∞). Für f(x) = √x mit D = [0, ∞) ist der Wertebereich ebenfalls [0, ∞).

Hinweis: Der Wertebereich kann sich ändern, wenn der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Bei der Umkehrung einer Funktion (Inverse) spielt der Wertebereich eine zentrale Rolle, da derjenige Bereich, der als Bild dient, für eine eindeutige Umkehrung erforderlich ist.