Dreiecke

Dreiecke sind zweidimensionale Ebenenfiguren, die aus drei Ecken und drei Seiten bestehen. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180 Grad, und die Längen der drei Seiten müssen die Dreiecksungleichung erfüllen: Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte. Dreiecke lassen sich nach den Seiten oder nach den Winkeln klassifizieren.

Nach Seiten: Gleichseitig bedeutet, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Gleichschenklig bedeutet, dass zwei Seiten gleich lang sind. Ungleichseitig liegt vor, wenn alle drei Seiten verschieden sind. Nach Winkeln: Spitzwinklig hat alle Winkel unter 90 Grad, rechtwinklig besitzt einen Winkel von 90 Grad, stumpfwinklig besitzt einen Winkel größer als 90 Grad.

Wichtige Formeln und Eigenschaften: Die Fläche eines Dreiecks lässt sich als A = 1/2 · Basis · Höhe berechnen, alternativ A = 1/2 · a · b · sin C. Der Umfang ist P = a + b + c. Für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras a^2 + b^2 = c^2, wobei c die Hypotenuse ist. Zur Bestimmung von Bereichen oder Längen kommen auch Heronsche Formeln und weitere Verhältnisgleichungen zum Einsatz.

Kongruenz und Ähnlichkeit: Kongruenzkriterien umfassen SSS, SAS, ASA, AAS sowie RHS für Rechtsecken-Dreiecke. Ähnlichkeit ergibt sich aus AA, SSS oder SAS, was zu gleichen Formverhältnissen führt.

Besondere Dreiecke: Das 45-45-90-Dreieck hat Seitenverhältnisse 1:1:√2, das 30-60-90-Dreieck 1:√3:2. Konstruktion und Geometrie nutzen Dreiecke in vielen Anwendungen, von Architektur über Vermessung bis hin zur Computergrafik. Mediane, Höhen und Winkelhalbierenden verhalten sich in Dreiecken weiterführend: Mediane schneiden sich im Schwerpunkt, der die Dreiecksfläche in zwei gleich große Teile teilt.