Winkelhalbierenden

Winkelhalbierenden sind Geraden oder Strahlen, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Sie verlaufen durch den Scheitel des Winkels und schneiden die beiden Seiten so, dass die entstehenden Unterwinkel gleich groß sind. Die Winkelhalbierende eines Winkels besitzt die Eigenschaft, dass jeder Punkt darauf den gleichen Abstand zu den beiden Seiten des Winkels hat.

In der Geometrie gilt zudem: Die Innenwinkelhalbierende eines Winkels ist die Loci aller Punkte, die von den beiden Seiten des Winkels den gleichen Abstand haben. In einem Dreieck erfüllt die Innenwinkelhalbierende von A die Bedingung BD/DC = AB/AC, wenn D der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Gegenseite BC ist. Die äußere Winkelhalbierende teilt die Gegenseite extern im Verhältnis der anliegenden Seiten.

In einem Dreieck schneiden sich die drei Innenwinkelhalbierenden im Inzentrum I, dem Mittelpunkt des Umkreises, der die drei Seiten berührt; der Inkreis ist der Umkreis des Inzentrums und berührt alle drei Seiten. Die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden bilden Exzentrien, die jeweiligen Umkreise heißen Exkreise und liegen außerhalb des Dreiecks.

Eine allgemeine Formel bezieht sich auf die Länge einer Winkelhalbierenden l_a von einem Scheitel A im Dreieck mit den Seitenlängen a = BC, b = CA, c = AB: l_a^2 = bc [1 − (a^2/(b+c)^2)]. Konstruktionstechnisch lässt sich die Innenwinkelhalbierende durch Zirkel- und Linealhilfe herstellen, indem man den Scheitel, passende Bögen und deren Schnittpunkte verbindet.