Schnittpunkt

Schnittpunkt bezeichnet in der Geometrie den Punkt, an dem sich zwei oder mehr Objekte schneiden. Typische Beispiele sind der Schnittpunkt zweier Geraden, einer Geraden und einer Kurve oder zweier Kreise. In der analytischen Geometrie wird der Schnittpunkt oft als Lösung eines Gleichungssystems interpretiert, das die Gleichungen der beteiligten Objekte enthält.

Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene: Die Geraden lassen sich durch lineare Gleichungen beschreiben, zum Beispiel g1: a1 x + b1 y = c1 und g2: a2 x + b2 y = c2. Das lineare Gleichungssystem besitzt genau dann einen Schnittpunkt, wenn die Determinante D = a1 b2 − b1 a2 ungleich null ist. Dann lauten die Koordinaten x = (c1 b2 − b1 c2)/D und y = (a1 c2 − c1 a2)/D. Ist D = 0, sind die Geraden parallel; liegen sie außerdem aufeinander, existiert unendlich viele Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit Kreisen bzw. weiteren Kreisen: Ein Geradenkreis-Schnittpunkt ergibt sich, indem man die Geradengleichung in die Kreisgleichung einsetzt und eine quadratische Gleichung erhält. Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl der Schnittpunkte (zwei, einer oder keiner). Zwei Kreise können ebenfalls null, einen oder zwei Schnittpunkte haben; deren Existenz hängt vom Abstand der Kreisezentren relativ zu den Radii ab.

Weitere Aspekte: In drei Dimensionen können Geraden sich schneiden, parallel oder skalar verschoben sein; Linien können sich auch nicht schneiden (sogenannte Schräglage). In der projektiven Geometrie wird ein Schnittpunkt oft als gemeinsamer Punkt mehrerer Objekte definiert, auch wenn sich diese im unendlichen Bereich befinden. Anwendungen finden sich in Grafik, CAD, Geoinformationssystemen und Robotik.