Innenwinkelhalbierende

Eine Innenwinkelhalbierende eines Dreiecks ist die Gerade, die durch einen Scheitelpunkt verläuft und den Innenwinkel an diesem Scheitelpunkt in zwei gleichgroße Winkel teilt. Sie zieht typischerweise vom Scheitelpunkt A zur gegenüberliegenden Seite BC.

Jeder Punkt P auf der Innenwinkelhalbierenden von ∠A hat den gleichen Abstand zu den Linien AB und AC. Damit ist die Innenwinkelhalbierende auch die Locus-Eigenschaft von Punkten, deren Distanz zu den beiden anliegenden Seiten gleich ist.

Der Satz zur Winkelhalbierenden (Innenwinkelhalbierenden-Satz) besagt: Die Innenwinkelhalbierende von A schneidet die Gegenkante BC in D und teilt BC im Verhältnis der angrenzenden Seitenlängen, BD/DC = AB/AC. In ähnlicher Weise gelten entsprechende Aussagen für die anderen Scheitelpunkte.

Der Schnittpunkt der drei Innenwinkelhalbierenden wird Incenter genannt. Er liegt innerhalb des Dreiecks und ist der Mittelpunkt des Inkreises, der das Dreieck berührt. Der Abstand des Incenter zu allen drei Seiten ist gleich (Inradius r).

Formeln: Sei a = BC, b = CA, c = AB die Seitenlängen gegenüber den Scheitelpunkten A, B, C und t_a die Innenwinkelhalbierende von A zur Seite BC. Dann gilt t_a^2 = bc [1 − (a^2/(b+c)^2)] bzw. t_a = (2bc cos(A/2))/(b+c). Die Formel ermöglicht die Berechnung der Länge der Innenwinkelhalbierenden aus den Seitenlängen.