Umkreis

Umkreis ist ein Begriff aus der Geometrie und bezeichnet den Kreis, der durch alle Eckpunkte einer Figur verläuft, in der Regel durch den Mittelpunkt und Radius des Kreises. Der Mittelpunkt dieses Kreises wird Umkreismittelpunkt genannt, der Radius als Umkreisradius. Nicht jede Figur besitzt einen Umkreis; eine Figur, deren Eckpunkte auf einem gemeinsamen Kreis liegen, wird als zyklisch bezeichnet. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis; der Umkreismittelpunkt liegt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten.

Bei Dreiecken hängt die Lage des Umkreismittelpunkts von der Art des Dreiecks ab. In einem spitzen Dreieck liegt er innerhalb des Dreiecks, in einem rechtwinkligen Dreieck in der Mitte der Hypotenuse, und in einem stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks. Der Umkreisradius lässt sich über verschiedene Formeln berechnen: R = a/(2 sin A) = b/(2 sin B) = c/(2 sin C) bzw. R = abc/(4Δ), wobei Δ die Fläche des Dreiecks ist. Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a gilt R = a/√3.

Bei Vierecken existiert ein Umkreis nur, wenn das Viereck zyklisch ist, das heißt alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreis. Dann gilt außerdem, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180 Grad beträgt.

Umkreis hat auch eine geographische Bedeutung: Im Alltag wird damit der Umkreis um einen Punkt bezeichnet, also der Bereich im Umkreis eines bestimmten Radius, z. B. „im Umkreis von 10 Kilometern“ um einen Ort. In der Praxis wird der Umkreis genutzt, um Reichweiten, Suchgebiete oder Angebotszonen abzustecken.