Umkreisradius

Der Umkreisradius (Symbol R) bezeichnet den Radius des Umkreises, des Kreises, der alle Eckpunkte eines geometrischen Objekts berührt. Am häufigsten bezieht er sich auf Dreiecke, kann aber auch für andere Polygone gelten, die zyklisch sind.

Existenz und Geltungsbereich: Bei Dreiecken existiert der Umkreisradius immer; für allgemeine Vielecke existiert er nur, wenn das Polygon zyklisch ist, das heißt, alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Kreis.

Formeln für Dreiecke: Für ein Dreieck mit Seitenlängen a, b, c und gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt R = a/(2 sin A) = b/(2 sin B) = c/(2 sin C). Eine aggregierte Formel lautet R = abc/(4Δ), wobei Δ die Fläche des Dreiecks ist (Δ kann mit der Heron-Formel berechnet werden).

Regelmäßige Vielecke: Bei einem regelmäßigen n-Eck mit Seitenlänge s gilt R = s/(2 sin(π/n)). Die Circumradius ist damit der Abstand vom Mittelpunkt zum jeweiligen Eckpunkt. Mit zunehmendem n nähert sich der Umkreisradius dem Radius des Umkreises eines Kreises, der den gleichen Umriss beschreibt.

Beispiele und Beziehungen: In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a ist R = a/√3; der Inkreisradius r ist in diesem Fall r = a/(2√3). Der Umkreisradius lässt sich auch aus Koordinaten bestimmen, etwa als Radius des Kreises, der durch alle Eckkoordinaten verläuft.

Anwendungen: Der Umkreisradius wird in Geometrie, Architektur, Navigation, Robotik und Computergrafik verwendet, um Zyklicität, zentrale Winkel und Kreiskonstruktionen zu analysieren oder Kreise um Figuren zu konstruieren.