Dreiecken

Dreiecken sind ebene geometrische Formen, die durch genau drei Geradenkanten und drei Innenwinkel gekennzeichnet sind. In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad. Die drei Seiten und die drei Innenwinkel stehen in enger Beziehung zueinander, und oft werden Seiten mit a, b und c sowie Winkel mit A, B und C bezeichnet.

Nach den Seitenlängen unterscheiden sich Dreiecke in Gleichseitige (alle Seiten gleich), Gleichschenklige (zwei Seiten gleich) und Ungleichseitige (alle Seiten verschieden). Gleichseitige Dreiecke sind zugleich gleichwinklig, mit allen Innenwinkeln von 60 Grad.

Nach den Winkeln werden Dreiecke in Spitzwinklige (alle Winkel kleiner als 90 Grad), Rechtswinkelige (einer der Winkel beträgt 90 Grad) und Stumpfwinklige (einer der Winkel größer als 90 Grad) eingeteilt.

Wichtige Formeln und Eigenschaften: Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich als A = Basis × Höhe ÷ 2; alternativ mit der Heron-Formel A = sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)), wobei s der Halbumfang s = (a+b+c)/2 ist. Der Umfang ist P = a+b+c. Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist. Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Längen zweier Seiten stets größer als die dritte Seite ist. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis (Circumradius R) und einen Inkreis (Inradius r). Die drei Medianen schneiden sich im Schwerpunkt G, der jede Medianhalb im Verhältnis 2:1 teilt. Ähnlichkeit und Kongruenz erlauben den Abgleich von Dreiecken unterschiedlicher Größen.

Anwendungen finden Dreiecke in Architektur, Vermessung, Computergraphik und vielen Bereichen der Mathematik. Sie dienen als grundlegende Bausteine für Beweise, Konstruktionen und die Analyse von geometrischen Beziehungen.