Bogenlänge

Die Bogenlänge, auch Bogenlänge einer Kurve, bezeichnet die Länge einer Kurve im Raum oder in der Ebene und wird häufig mit s oder L notiert. Sie misst, wie weit sich ein Punkt auf der Kurve entlang der Kurve bewegt. In der Analysis wird sie als das Integral der Geschwindigkeit der Kurve definiert.

Für eine ebene, parametrische Kurve r(t) = (x(t), y(t)) mit t in einem Intervall [a, b] gilt die Bogenlänge

s = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.

Bei einer Kurve, die durch eine Funktion y = f(x) von x = a bis x = b beschrieben wird, ergibt sich aus ds = sqrt(1 + (f′(x))^2) dx die Formel

s = ∫_a^b sqrt(1 + (f′(x))^2) dx.

In drei Dimensionen einer Kurve r(t) = (x(t), y(t), z(t)) lautet die Bogenlänge

s = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2) dt.

Besonders praktisch ist die Bogenlänge als Parameterisierung: Wird s als Parameter verwendet, ergibt sich eine Kurve r(s) mit der Eigenschaft, dass der Einheitsgeschwindigkeitsvektor gilt, also |dr/ds| = 1. Für eine Gerade zwischen zwei Punkten A und B entspricht die Bogenlänge dem ohnehin bekannten euklidischen Abstand AB.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Analysis, Physik und Computergrafik, etwa bei der Berechnung von Kurvenlängen, bei der Einheitsparametrisierung von Kurven oder beim Vergleich unterschiedlicher Kurvenlängen.