Polynomgleichung

Eine Polynomgleichung ist eine Gleichung der Form P(x) = 0, wobei P ein Polynom in einer Variablen x ist. Allgemein gilt P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, wobei die Koeffizienten a_i zu einem Feld gehören (häufig die reellen oder komplexen Zahlen) und a_n ≠ 0 ist. Die höchste Potenz n mit a_n ≠ 0 heißt Grad des Polynoms. Die Lösungen der Polynomgleichung sind die Werte von x, für die P(x) = 0, also die Nullstellen des Polynoms. Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten können die Nullstellen reell oder komplex sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jedes Polynom der Grad n in den komplexen Zahlen genau n Nullstellen (mit Vielfachheiten).

Zur Lösung von Polynomgleichungen stehen verschiedene Methoden zur Verfügung. Faktorisieren des Polynoms in Linearfaktoren oder in irreduzible Faktoren liefert oft die Nullstellen. Zahlentheoretische Verfahren wie der Rational-Nullstellen-Satz helfen bei der Suche nach rationalen Lösungen. Für quadratische Gleichungen gibt es die Mitternachtsformel; für kubische und quartische Gleichungen existieren allgemeine Formeln, deren Anwendung jedoch umfangreich sein kann. Allgemeinere Polynome werden häufig numerisch gelöst (z. B. mittels Newton-Verfahren) oder durch Näherungsverfahren ermittelt.

Polynomgleichungen finden breite Anwendung in Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften, etwa bei der Bestimmung von Schnittpunkten, in der Modellierung von physikalischen oder technischen Prozessen sowie in Algorithmen zur Nullstellensuche. Beispiele wie x^2 − 5x + 6 = 0 liefern reale Nullstellen x = 2 und x = 3.